なんでも数式で解いてみる「三角形2」（パスカルの三角形）

パスカルの三角形の規則性を解いてみる

パスカルの三角形をご存知でしょうか
私は知りません
何の用途で使うのか使われたのか全く分かりません

が 三角形に数字が入ってるので興味を持ちました（ｿｺｶﾖ

WiKiに10段目まで載っていました



前回の三角形のように縦に規則性、、と思たのですが
1　2　6　20　70　252・・・

まったくわかりません
きっと素材が少ないから、、と続きを取得してみる
どうせならエクセルの限界まで逝ってみようかと思います

この三角形作るのはエクセルなら簡単なんです
まず真っ白なシートを用意します

セルB2に　=A1+C1
セルC3に　=B2+D2

たったこれだけです



この4つのセルを選択して右端の1つ手前のセルまでコピーします



そのまま126列目までコピーします



準備完了

1行目の真ん中「セルDW1」に「1」を入力します


完成です。125段取得できました。



エクセルを25%まで縮小して全体図を取ってみました
気になるのは125段目の真ん中だと思います
ドンッ


どうやらエクセル君でも計算できなかったようです
この表示は桁数が多いときに出ます
「セルの書式設定で数値」にすることで表示できます


パスカルの三角形の124段目は
1520803477811880000000000000000000000
でした。

エクセルでは左から16文字以上は全部0になります
152080347781188　←ここまでで15文字　0000000000000000000000
正確な数値とは言えません
エクセルで正確に出せるのは
52段目の495918532948104 になります
53段目の1946939425648110 最後の10は正確ではありません

以上（ぉぃ

趣旨が違ってました
計算式で出す方法ですね
1　2　6　20　70　252・・・

素材が少ないと保留したのにあっさり62個も出してしまった
続きは

1　2　6　20　70　252　924　3432　12870　48620　184756 ・・・

ダメですまったくわかりません
考え方を変えてみます

斜めを取得してみます



図のように斜めに取得してみる
図は4段目

1段目
1　1　1　1　1　1・・・
全部1

2段目
1　2　3　4　5　6　7　8　9・・・
セルD4
=C4+1

3段目
1　3　6　10　15　21　28　36　46・・・
セルD5
=C2+1+C5
通し番号C2に1を足して前の結果（セルC5）を足した結果です

4段目
1　4　10　20　35　56　84　120　165・・・
最初の1と4は固定
セルE6
=D6+(D6-C6)+(C2+2)
1つ前のセル（D6+(D6-C6)）を取得して
通し番号に2を足したものを足しています

5段目
1　5　15　35　70　126　126　210　330・・・
最初の1と5は固定
セルE7
=(D7-C7)+(((D2+2)/2)*(D2+1))+(D7)

6段目
1　6　21　56　126　252　462　792
最初の1と6は固定
セルE8
とんでもなく長い式なので省略



黄色のセルが中央のセルになります

6段目までは数式で出してみましたが
上記のように段が増えると数式が長くなります

ここまで数式で解けたのだから
中央も数式でいけるような気がします

上図の黄色いセル、中央の数式だけ抜き取ります

=1
=C4+1
=D2+1+D5
=E6+(E6-D6)+(D2+2)
=(F7-E7)+(((F2+2)/2)*(F2+1))+(F7)

ここから規則性を探します

やはりとんでもなく長い式になります
なんとか短縮してみます

続きはまた追記します

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追記
なんとかかなり短縮できました



横だとたいして計算できないないので縦にします
セルA2、セルB2、セルC2は前行参照なので1を入力しておきます

セルA3）=A2+1
セルB3）=(A3-1)*2
セルC3 B列を使用）=C3*(1/(B4/(B3+1)/4))
セルC3 B列を未使用）=C2*(1/(((A3-1)*2)/(((A2-1)*2)+1)/4))

B列はAから取得できるので何段目かの参照です

たったこれだけです。かなり短くなりました

パスカルの三角形がこんな簡単な式で出せると思いませんでした

これを下にずずずいっと行けばエクセルの上限まで行けます
※セルは「セルの書式設定で数値」にしないと表示できません

100行ずつくらい試してください

以下で1000行までの値です

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参考までに
表では124段が限界でしたが先も取得しました

エクセルでは左から16文字以上は全部0になります
正確な数値とは言えません

エクセルで正確に出せるのは
52段目の495918532948104 になります
53段目の1946939425648110 最後の10は正確ではありません

何の役に立つのかといえば
この数値は例えば
2段目　2枚のコインを投げて同じになる確率です
10段目　10枚のコインを投げて同じになる確率です
52段目　52枚のコインを投げて同じになる確率です

また52枚はトランプの枚数です。
つまり52セットのトランプから無作為に1枚選んで
すべて赤か黒になる確率は52段目の495918532948104 になります

また
52枚のトランプから26枚全部赤を引く確率
52枚のトランプから26枚全部黒を引く確率
495兆9185億3294万8104分の1です

パスカルの三角形の数値は何か確立に関係ありそうですね

10段目　252
20段目　184756
30段目　155117520
40段目　137846528820
50段目　126410606437752
60段目　118264581564861000
70段目　112186277816663000000
80段目　107507208733336000000000
90段目　103827421287553000000000000
100段目　100891344545564000000000000000

200段目
90548514656103300000000000000000000000000000000000000000000
300段目
93759702772827500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
400段目
102952500135414000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
500段目
116744315788278000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1000段目
2.70288240945437E+299
270288240945437　と　後ろに「0が285個」です

上記1000段目を数値化するのはエクセルでは無理です
0ばっかりなので取得する意味はないかもしれません

これ以上頑張っても何故か1028段目が限界です
1029段目以降は「#NUM!」エラーになります

ちなみに最終取得できた1028段目は
「7.1561E+307」
715605105487792000　と　後ろに「0が290個」です

以上　三角形2（パスカルの三角形）でした

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