遊：不思議なパズルを数式で解いてみる - エクセル関数の使い方

8×8=5×13になる不思議なパズルを作る

以下の画像をご覧ください

8×8=64
5×13=65
あれ？１合わない

これは実は対角線が直線ではないから・・

というのがよく見るトリックです

だがそれでは納得がいかないし
現物のパズルは作れない

そこで実際に可能な数値を出してみる

このパズルが立方体で構成されてると考えるから無理なんです
実は縦と横は8マス、5マスであり
”マス”なんです
8cm、5cmや8px、5pxではない
等辺ではないんです

図のように三角形の底辺xと台形の底辺yとすると

たったこれだけではわかりにくいので
左側は正方形としてわかる範囲で当てはめると

絵を描くのが雑になってますがそこはご容赦。

左側の正方形の面積は　=(x+y)*(x+y)
右側の長方形の面積は　=y*(x+y+y)

ということになりますつまり

正方形の面積=長方形の面積
(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)

この条件を満たせば上記の図形は成り立ちます
い、因数分解ですね

(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)

↓（まず括弧を外します）
x²+2xy+y²=xy+y²+y²

↓（y²を両方から消します）
x²+2xy=xy+y²

↓（両方からxyを引きます）
x²+xy=y²

見たことがある数式ですね
ピタゴラスの定理（A²+B²=C²）

これに当てはめてしまおう

上記の式は
x²+xy=y²

ピタゴラスの定理
A²+B²=C²
3²+4²=5²
6²+8²=10²
9²+12²=15²

以上から条件を満たすには
x²+xy=y²
の+xyが平方根、xとyをかけて平方根にならないといけません

やっとエクセル君の出番です

xが3の倍数の場合4と5の倍数を掛けたものは追いつきません
xが4の倍数の場合3と5の倍数を掛けたものは追い越せません

つまり自然数で表せるxとyでは
x²+xy=y²
この数式は成り立たないということになります

結論
正方形の面積=長方形の面積
(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)
を満たすxとyの自然数は存在しない
ということになります

仕切り直しです

正方形の面積=長方形の面積　と考えると無理なんです
正方形に近い長方形と長方形で考えます

先ほどは正方形として考えたのでたくさん割り当てられましたが
正方形ではないと考えると

これしか分かりません
これだけでは高さも面積も出せません

どうしても高さであるzが必要になります。ここから
左の面積は
(x+y)*(x+z)

右の面積は
z*(x+y+z)

になります

これをイコールとすれば可能な数値が出ます
(x+y)*(x+z)=z*(x+y+z)
↓
x²+xz+xy+yz=xz+yz+z²
↓
x²+xy=z²

あれ？　またこれ？
よく見ると違います+xzです

前回のx²+xy=y²は図にすると