なんでも数式で解いてみる「3,時計の針2」

なんでも数式で解いてみる「3,時計の針2」
(長針と短針が再び針が重なる時間と角度をエクセルで解いてみる)

前回「長針と短針の角度」を計算していて
どうしても「再び針が重なる時間」を知りたくなりました

前回分かったのは
「再び針が重なる時間」は65分から66分の間です

秒単位で出してみれば・・
分と同じように○○秒と○○秒の間という結果に・・・
と思いますが一応秒で出してみる(ヒマカヨ



結果は3927秒と3928秒の間です(ォィ

ダメです。
やはり根本的に考え方を変えなければいけないようです
ではビールでも飲んで1度前回のことは忘れます





(゜゜;), (;゜゜)ハッ!
「長針と短針が再び針が重なる時間」ですか

案1)
長針の角度と時間
短針の角度と時間から
時間と角度が一緒になるときを求めればいい?

案2)
12時間の間に長針と短針が重なるのは11回
ここから12時間分を11で割ってみる?

どっちでいくか・・・
はい!「どっちも。」ですね

案1)は
長針の角度と時間と短針の角度と時間から
時間と角度が一緒になるときを求めればいい
理屈はわかるがこれをエクセルで?

長針の角度を時間から出すと
360度を1時間で割れば取得できます

短針の角度を時間から出すと
360度を24時間で割れば取得できます

長針は1分に6度進みます
短針は1分に0.5度進みます

ここであることに気づけば攻略は可能です
長針が1週したとき(360度)で0にすればいい

そうするとなつかしい問題が思いつきます
そう 弟は30mの地点からスタートして1分に0.5m進みます 兄は弟より30m前から分速6m進みます
兄はいつ弟に追いつくでしょう?
なんて問題ありましたよね?

追い越し算?旅人算?通過算?
そんな名前だった気がします

二人が出会う時間=二人の距離÷二人の速さの差
ですから
二人の距離(1時ちょうどですから長針0 短針30
二人の速さの差(長針6/分 短針0.5/分

=30/(6-0.5)=5.454545455
完了(ォィォぃ
わかりませんよね分に対する答えなので

最初から秒速にしましょう
二人の距離(1時ちょうどですから長針0 短針30
二人の速さの差(長針0.1/秒 短針0.5/60秒

=30/(0.1-0.5/60)=327.2727272・・・
327.2727272・・・秒後になります
5分27秒2727272・・・ です

つまり0時過ぎ次に針が重なりあうのは
1時5分27秒2727272・・・です

これを1つの数式に。。。めんどい省略


案2)に行きます
12時間の間に長針と短針が重なるのは11回
ここから12時間分を11で割ってみる?

12時間の間に長針が回るのは
=12*360=4320 です
この間に11回針が重なっています
ですから4320を11で割る
=4320/11=392.7272727
392.7272727から1週360を引きます

32.7272727・・・
これが最初に重なる角度です。簡単ですね~

角度がわかれば時間も簡単に出せます
=32.7272727*10=327.272727
327.2727272・・・秒後
5分27秒2727272・・・

角度が30度を超えてるので1時間足されます
1時5分27秒2727272・・・です(ン?デジャビュ?

案1とそっくり同じ答えになりましたがこっちの方が簡単です

これを数式にすると
1時間に360度を12時間で掛けます
=12*360 (=4320
これを11で割ります
=(12*360)/11 (=392.7272727・・
360を超えていたら360引きます
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)
=32.7272727・・・
これが角度になります
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)

ここから次は360を720に、、とか考えそうですが

次は2で掛ければいいだけです
1時台
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)
2時台
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)*2
3時台
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)*3


としていくと
11時台
=if((12*360)/11>360,(12*360)/11-360,(12*360)/11)*11
=360ですから0時になります


「12時間の間に長針と短針が重なるのは11回」
ここに気づけば簡単です

なっとくがいかない?
いやいや
1時台に重なるのは1時5分27秒2727272・・・
2時台に重なるのは2時10分55秒・・・

分が少しずつ増えていき

10時台に重なるのは10時54分33秒・・・
11時台に重なるのは11時60分←つまり0時です
11回しか重なりません

11時台には針は重ならないんです
長針が短針に追いついたときは0時になります





結論「針が重なるのは時間×5分27秒2727272・・・角度は32.7272727・・・」

なんかこの延々と続く.2727272とか.7272727が納得いきませんね
正確な回答とは言えない気がします
そこで小数点以下は分数にしてしまいましょう
.2727272・・・は =3/11
.7272727・・・は =8/11なので

正確な答えは
針が重なる時間は 5分27秒+3/11秒
針が重なる角度は 32度+8/11度
です

時間にすると
0時0分0秒
1時05分27秒272727(3/11)
2時10分54秒545454(6/11)
3時16分21秒818181(9/11)
4時21分49秒090909(1/11)
5時27分16秒363636(4/11)
6時32分43秒636363(7/11)
7時38分10秒909090(10/11)
8時43分38秒181818(2/11)
9時49分05秒454545(5/11)
10時54分32秒727272(8/11)

1時から10時までの小数以下は循環小数です
()内は循環小数を分数で表したものです

正確な表記としては
1時05分27.27秒(1時05分27秒27
2時10分54.54秒(2時10分54秒54
3時16分21.81秒(3時16分21秒81
4時21分49.09秒(4時21分49秒09
5時27分16.36秒(5時27分16秒36
6時32分43.63秒(6時32分43秒63
7時38分10.90秒(7時38分10秒90
8時43分38.18秒(8時43分38秒18
9時49分05.45秒(9時49分05秒45
10時54分32.72秒(10時54分32秒72
かもしれません。循環小数の表記なんてわかりませんよね

以上 長針と短針が再び針が重なる時間と角度でした



おまけ
上記のような2桁の時間の循環関数には規則があります

1時05分27秒272727(3/11)
2時10分54秒545454(6/11)
3時16分21秒818181(9/11)
4時21分49秒090909(1/11)
5時27分16秒363636(4/11)
6時32分43秒636363(7/11)
7時38分10秒909090(10/11)
8時43分38秒181818(2/11)
9時49分05秒454545(5/11)
10時54分32秒727272(8/11)

時間無視して並び替えると

090909(1/11)
181818(2/11)
272727(3/11)
363636(4/11)
454545(5/11)
545454(6/11)
636363(7/11)
727272(8/11)
818181(9/11)
909090(10/11)

そうですすべて9の倍数が循環しています
まぁ当たり前なんですが
並べてみると面白いものです

おまけでした

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