遊:不思議なパズルを数式で解いてみる

8×8=5×13になる不思議なパズルを作る

以下の画像をご覧ください



8×8=64
5×13=65
あれ?1合わない

これは実は対角線が直線ではないから・・

というのがよく見るトリックです

だがそれでは納得がいかないし
現物のパズルは作れない

そこで実際に可能な数値を出してみる

このパズルが立方体で構成されてると考えるから無理なんです
実は縦と横は8マス、5マスであり
”マス”なんです
8cm、5cmや8px、5pxではない
等辺ではないんです



図のように三角形の底辺xと台形の底辺yとすると

たったこれだけではわかりにくいので
左側は正方形としてわかる範囲で当てはめると



絵を描くのが雑になってますがそこはご容赦。

左側の正方形の面積は =(x+y)*(x+y)
右側の長方形の面積は =y*(x+y+y)

ということになりますつまり

正方形の面積=長方形の面積
(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)

この条件を満たせば上記の図形は成り立ちます
い、因数分解ですね

(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)

↓(まず括弧を外します)
x2+2xy+y2=xy+y2+y2

↓(y2を両方から消します)
x2+2xy=xy+y2

↓(両方からxyを引きます)
x2+xy=y2

見たことがある数式ですね
ピタゴラスの定理(A2+B2=C2

これに当てはめてしまおう

上記の式は
x2+xy=y2

ピタゴラスの定理
A2+B2=C2
32+42=52
62+82=102
92+122=152

以上から条件を満たすには
x2+xy=y2
の+xyが平方根、xとyをかけて平方根にならないといけません

やっとエクセル君の出番です


xが3の倍数の場合4と5の倍数を掛けたものは追いつきません
xが4の倍数の場合3と5の倍数を掛けたものは追い越せません

つまり自然数で表せるxとyでは
x2+xy=y2
この数式は成り立たないということになります

結論
正方形の面積=長方形の面積
(x+y)*(x+y)=y*(x+y+y)
を満たすxとyの自然数は存在しない
ということになります



仕切り直しです

正方形の面積=長方形の面積 と考えると無理なんです
正方形に近い長方形と長方形で考えます



先ほどは正方形として考えたのでたくさん割り当てられましたが
正方形ではないと考えると



これしか分かりません
これだけでは高さも面積も出せません

どうしても高さであるzが必要になります。ここから
左の面積は
(x+y)*(x+z)

右の面積は
z*(x+y+z)

になります

これをイコールとすれば可能な数値が出ます
(x+y)*(x+z)=z*(x+y+z)

x2+xz+xy+yz=xz+yz+z2

x2+xy=z2

あれ? またこれ?
よく見ると違います+xzです

前回のx2+xy=y2は図にすると


こんな感じでしたが
今回の x2+xy=z2



こうなります

図にすればなんとなくとおもったのですが
まったくわかりません

x2+xy=z2
xとyは横軸ですがzは縦軸です
xとyに数値を与えればzが出ますが小数点以下が邪魔です
そこで一覧表を作ってみる
限りなく整数に近い数字を探します



36番目に見つけました54.99090834 ほぼ55です
ここから

x=36
y=48
z=55(54.99090834)

として、もちろんエクセルで作ってみます
縦10ピクセル横10ピクセルで斜め線のところで
セルを結合して書式設定の罫線で斜めに線を引いています



こんな感じです
確かに直線に見えるかもしれない
以上から
1番自然数に近い数値は

x=36
y=48
z=55(54.99090834)

になります


以上 不思議なパズルを数式で解いてみるでした
TOPさいころの確立表を作ってみる
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